Mel Frequency Cepstral Coefficient (MFCC)
这是我写的第二篇博客，这篇博客主要介绍MFCC，也是总结目前所学的《语音信号处理》知识。
很多语音自动识别系统（ASR）中，第一步就是提取语音特征，提取特征是为了提取语音中具有分辨性的信息，去除情绪、噪声等。
为了理解语音模型，我们先来理解一下声道模型。
MFCC特征在语音识别系统中广泛使用。它由Davis和Mermelstein在二十世纪九十年代引入，并成为state-of-art，当然，后续的深度学习是另话了。在MFCC此之前，还有LPCC特征，下一篇文章将介绍LPCC。
什么是MFCC，怎样计算它?
首先，给出MFCC的计算过程，后续会具体说明每一步。
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将信号分帧，这是所有语音处理的第一步.
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每一帧做DFT变换，得到离散频谱.
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计算梅尔滤波器组，对信号滤波，并计算每个滤波器滤波之后的能量总和.
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对所有的能量总和取对数.
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对上述的对数能量做DCT变换.
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保留DCT变换后，前12-13个系数，即为梅尔系数.
得到梅尔系数后，通常会取一阶差分和二阶差分作为动态特征，一帧的总能量也会作为特征。
具体步骤
信号分帧
第一步，对信号分帧（分帧是为了方便处理）。通常一帧20-40ms（标准的是25ms),对于16k采样率来说，也就是320-640个采样点，每一帧10ms,步长也就是160个采样点。
离散傅里叶变换
第二步，对每一帧信号做N点离散傅里叶变换，N=512,取前257个系数。
其中h(n)是N个点的窗，比如汉明窗、矩形窗等,K是DFT的长度。然后计算每一个频率的能量，并归一化：
设计梅尔滤波器组
第三步，计算梅尔滤波器组。通常设计20-40个三角滤波器（一般设置26个），假设设计$m=26$个三角滤波器，也就是说得到（26，257）的矩阵，将滤波器矩阵装置，与信号的能量相乘，就会得到26个系数。这26个系数表示信号通过每个滤波器之后，剩余的能量。下图为梅尔滤波器组：
下面具体说明，怎样得到梅尔滤波器组。先说明什么是梅尔频率，梅尔频率是基于人类听觉实验的。实验表明，相较于高频，人类的听觉对低频变化比较敏感，它与频率的转换关系如下：
将梅尔频率转换成频率：
要设计梅尔滤波器组，首先确定高频上限和低频下限，对于采样率为16K的语音信号而言，上限为$f_h=8000HZ$，下限设为$f_l=300HZ$即可（上限频率为采样率1/2）。得到上下限后，利用梅尔频率转换公式，将上下限频率转换成梅尔频率，$f_{mh}=2834.99 Mels, f_{ml}=401.25 Mels$, 再计算梅尔频率间隔，$\Delta = \frac{f_{mh} - f_{ml}}{m}$，这里m为滤波器的个数，为了方便，这里$m=10$，便得到：
m(i)=401.25, 622.50, 843.75, 1065.00, 1286.25, 1507.50, 1728.74, 1949.99, 2171.24, 2392.49, 2613.74, 2834.99
利用频率转换公式，将上述梅尔频率转换成频率：
h(i) = 300, 517.33, 781.90, 1103.97, 1496.04, 1973.32, 2554.33, 3261.62, 4122.63, 5170.76, 6446.70, 8000
然而，并没有按照上述的精确频率设计滤波器，而是将这些频率映射到最近的DFT频率。映射如下：
其中K为DFT的点数,samplerate为采样率， floor为向下取整。得到：
f(i) = 9,16,25,35,47,63,81,104,132,165,206,256
最后我们根据$f(i)$设计滤波器组，第一个滤波器从第一个点开始，在第二点达到峰值，在第三个点回到零。
这就是梅尔滤波器组。
对数变换
第四步，对第三步的26个系数取对数，为什么要取对数呢？这里面涉及到同态语音信号处理，目前不了解，后续涉及到会单独总结。
离散余弦变换
第五步，对第四步的结果做离散余弦变换DCT，得到倒谱系数。对于ASR来说，只有前12-13个系数被保留，这个系数就叫做梅尔倒谱系数。